第十章 Lingo软件包及其应用
Lingo软件包是一种专门用来求解数学规划和优化问题的软件包，由美国芝加哥大学的Linus Schrage教授创立的Lindo系统公司开发出来，可以在Windows和Linux环境下运行，同一版次具有不同的版本，如：演示版（试用版）、学生班、高级版、超级版、工业版、扩展版等等，不同的版本对求解问题的规模、变量数目和约束条件的限制不同。
对于Lingo软件包来说，编写很简单的程序就能调用大量的外部已有数据进行优化计算，是其出色的亮点。
§9.1 Lingo软件包的基础知识
（一）Lingo软件包的运算符
（1）算术运算符（Arithmetic Operators）
— 取反（negation） ^ 乘方（Exponentiation） * 乘法（Multiplication） / 除（Division）
+ 加（Addition） — 减（Subtraction）
（2）逻辑运算符
Lingo软件包的逻辑运算符，主要用于优化计算中定义各种逻辑条件。逻辑运算符为：
＃NOT# 非运算 ＃EQ# 相等 ＃NE# 不相等 ＃GT# 严格大于 ＃GE# 大于等于 ＃LT# 严格小于 ＃LE# 小于等于 ＃AND# 与 ＃OR# 或
（3）关系运算符
Lingo软件包中的关系运算符用在数学表达式中。 ＝ 等号
<＝ 小于等于 >＝ 大于等于
注：Lingo软件包不支持严格大于和严格小于，即，在Lingo软件包的数学表达式中“>”等价于“>=”，“<”等价于“<=”。
运算符的运算优先级（Priority Level）由高到低依次为：
1
优先级 运算符 最高级 #NOT# —(negation) ^ * / + -
#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR#
最低级 <= = >=
（4）Lingo软件包的内部函数
Lingo软件包提供下列内部函数：
@ABS( X) 绝对值函数 @COS( X) 余弦函数 @EXP( X)
e函数
x@FLOOR( X) 小于X的最大整数
@LGM( X) log((X?1)!)，即(X?1)!的自然对数
@LOG( X) 自然对数
@SIGN( X) 符号函数，当X < 0时，取值-1，否则取值+1 @SIN( X) 正弦函数
@SMAX( X1, X2,..., XN) 求最大 @SMIN( X1, X2,..., XN) 求最小 @TAN( X) 正切函数
@IF If函数，使用格式为：@IF（条件，T，F），即，条件为真时，得到T，
否则得到F。
@SUM 求和函数
@FREE(X) 取消变量X的非负限制（Lingo在求解优化问题时，默认所有
变量非负）
@FOR 优化计算时，用于限定约束条件 @bin(X) 限定X是（0,1）变量
@bnd（下界，X，上界） 限定 下界?X?上界 @gin（X） 限定X为整数变量
例如，@FOR(A(i,j)|a(i,j)#gt#0:@bin(x(i,j))) 表示限定矩阵A中元素：当a(i,j)?0 时，对应的变量x(i,j)是（0,1）变量。 注：
（1）在Lingo软件包中调用内部函数，一定要以@符号开头。 （2）在Lingo软件包中，model、sets、data以“：”结尾，其它语
2
句每行都以“；”结尾，endsets、enddata、end尾部不加任何符号。 （3）以！开头，书写注释行,结尾用“；”。
（4）在Lingo软件包中，不能写100x，要写成100*x
（5）无论是否是求解优化问题，Lingo的结果中都有松弛分析（Slack or Surplus）
（6）Lingo软件包求解时，已经假设所有变量?0
例10-1 在Lingo软件包中编写如下程序： model: data: m=?; n=?; enddata
f=@sin(m)+@cos(n); end
执行后，依次输入m?1、n?2，得到结果： Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value
M 1.000000 N 2.000000 F 0.4253241 Row Slack or Surplus 1 0.000000
注：如果输入m?1、n?3，则，得不到有效的结果，这说明Lingo软件包不能做通常的数学计算，它的优点在于优化计算。
（5）Lingo软件包编程的基本格式
格式1 model: 开头，end 结尾 格式2 model: 开头，结尾省略end 格式3 省略model: 和end
3
例10-2 在Lingo软件包中，求解下列线性规划问题：
maxf?100x?150y???s.t.??x??x?100y?120?2y?160x,y?0
Lingo软件包中优化程序如下： model:
max = 100 * x + 150 * y; x <= 100; y <= 120;
x + 2 * y <= 160; end
执行后得到结果：
Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 14500.00
Variable Value Reduced Cost
X 100.0000 0.000000 Y 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14500.00 1.000000 2 0.000000 25.00000 3 90.00000 0.000000 4 0.000000 75.00000
即，目标函数fmax?14500，最优解x?100,y?30。
例10-3 在Lingo软件包中，利用FREE函数的功能，可以求解变量可取负值的优化问题；利用IF函数，可以求解分段函数的优化问题：
minF?fx?fy
??100,x?0fx?2x????0,x?0???60?3y,y?0 s.t.?fy???2y,y?0??x?y?30??Lingo软件包中优化程序如下： model: min=fx+fy;
fx=@if(x#gt#0,100,0)+2*x; fy=@if(y#gt#0,60+3*y,2*y);
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