本部分只对相关概念做服务于差分隐私介绍的简单介绍，并非细致全面的介绍。
1.1 随机化算法随机化算法指，对于特定输入，该算法的输出不是固定值，而是服从某一分布。
单纯形（simplex）：一个\(k\)维单纯形是指包含\(k+1\)个顶点的凸多面体，一维单纯形是一条线段，二维单纯形是一个三角形，三维单纯形是一个四面体，以此类推推广到任意维。“单纯”意味着基本，是组成更复杂结构的基本构件。
概率单纯形（probability simplex）：是一个数学空间，上面每个点代表有限个互斥事件之间的概率分布。该空间的每条坐标轴代表一个互斥事件，\(k-1\)维单纯形上的每个点在\(k\)维空间中的坐标就是其\(k\)个互斥事件上的概率分布。每一点的坐标（向量）包含\(k\)个元素，各元素非负且和为1。
如下图所示，三个事件发生的概率分布形成一个二维的概率单纯形，上面每个点在三个事件上发生的概率之和为1。
形式化定义：给定一个离散集\(B\)，\(B\)上的概率单纯形\(\Delta(B)\)被定义为
\[\Delta(B)=\left\{x \in \mathbb{R}^{|B|}\left|x_{i} \geq 0, i=1,2, \cdots,\right| B \mid ; \sum_{i=1}^{|B|} x_{i}=1\right\} \]\(\Delta(B)\)是一个集合，集合中每一个元素是一个\(|B|\)维向量，该向量代表了一个离散型随机变量的概率分布。\(\Delta(B)\)代表了一个有\(|B|\)种取值的离散型随机变量的所有可能的概率分布。
随机化算法（randomized algorithm）：一个随机化算法\(\cal{M}\)有定义域\(A\)、离散的值域\(B\)。一个输入\(a\in A\)，算法\(\cal{M}\)的输出\(\mathcal{M}(a)\)是一个随机变量，服从概率分布\(p(x)=\operatorname{Pr}(\mathcal{M}(a)=x),x\in B\)，并且\(p(x)\in \Delta(B)\)。
例如，\(A=\{2,3,4\}\)，\(B=\{1,2,3,4,5\}\)，设\(\Delta(B)\)中包含三个元素，分别为\((\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0)\)、\((0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)\)、\((0,0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)，即
\[\Delta(B)=\left\{ (\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0), (0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0), (0,0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}) \right\} \]每个元素均代表算法输出的随机变量取值为1,2,3,4,5的概率分布，现可以规定映射\(\cal{M}\)为
\[\mathcal{M}(2)\sim \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0,0\right), \mathcal{M}(3)\sim \left(0, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0\right), \mathcal{M}(4)\sim \left(0,0, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \]也就是说，一个特定输入\(a\in A\)经过随机化算法\(\cal{M}\)得到的不是一个具体值\(b\in B\)，而是一个随机变量\(\mathcal{M}(a) \sim p(x),p(x)\in \Delta(B)\)，又或者说，算法将以一定概率输出某一个值。
1.2 KL散度（KL-Divergence）上述情况是在离散概率空间中讨论的，有时，算法将从连续分布中的采样，但最后将以适当的精度进行离散化。
KL散度（Kullback Leible-Divergence）概念来源于概率论与信息论，又被称作相对熵、互熵。从统计学意义上来说，KL散度可以用来衡量两个分布之间的差异程度，差异越小，KL散度越小。
熵（entropy）：信息论中熵定义首次被香农提出：无损编码事件信息的最小平均编码长度。通俗理解，如果熵比较大，即对该信息进行编码的最小平均编码长度较长，意味着该信息具有较多可能的状态，即有着较大的信息量/混乱程度/不确定性。从某种角度上看，熵描述了一个概率分布的不确定性。
一个离散的随机变量\(X\)可能取值为\(X=x_1,x_2,...,x_n\)，即取值空间为\(\cal{X}=\{x_1,x_2,...,x_n\}\)，概率分布律为\(p(x)=\operatorname{Pr}(X=x),x\in \cal{X}\)，则随机变量的熵定义为
\[\begin{aligned} H(X)&=-\sum_{x\in \cal{X}} p \left(x\right) \log p \left(x\right) \\ &=\mathbb{E}_{x \sim p}\left[-\log p(x)\right] \end{aligned} \]规定当\(p(x)=0\)时，\(p(x)\log p(x)=0\)。
其中，\(-\log p(x)\)表示状态\(X=x\)的最小编码长度。
\(\operatorname{Pr}(A)\)也即\(\operatorname{P}(A)\)，表示事件\(A\)发生的概率，只是书写习惯不同，避免与其他\(P\)混淆。
有时也将上面的量记为\(H(p)\)；
公式中的\(\mathbb{E}_{x \sim p}\)表示使用概率分布\(p\)来计算期望；
其中\(\log\)以2为底时，熵单位为bit，以e为底时，熵单位为nat；
上述的对熵的讨论也只是针对离散随机变量进行讨论的，\(p(x)\)在离散型随机变量中为概率分布律，在连续型随机变量中为概率密度函数；
交叉熵（cross-entropy）：熵的计算是已知各状态的概率分布求其理论上最小平均编码长度。如果不知道各状态真实的概率分布\(p(x)\)，只有预估的概率分布\(q(x)\)，我们只好根据预估的概率分布\(q(x)\)给事件编码，得到事件各状态\(x\)的预估最小编码长度\(-\log q(x)\)。假如经过观测后我们得到了真实概率分布\(p(x)\)，那么在计算预估最小编码长度\(-\log q(x)\)的期望时就可以采用真实概率分布\(p(x)\)，得到交叉熵。
对于同一取值空间\(\cal{X}=\{x_1,x_2,...,x_n\}\)下的离散随机变量\(P,Q\)，概率分布分别为\(p(x)=\operatorname{Pr}(P=x),q(x)=\operatorname{Pr}(Q=x),x\in \cal{X}\)，交叉熵定义为
\[\begin{aligned} H(P, Q)&=\sum_{x\in \cal{X}} p(x) \log \frac{1}{q(x)} \\ &=-\sum_{x\in \cal{X}} p(x) \log q(x) \\ &=\mathbb{E}_{x \sim p}\left[-\log q(x)\right] \end{aligned} \]即用预估概率分布\(q(x)\)计算每个状态的最小编码长度，用真实概率分布\(p(x)\)求期望。可见，\(H(P,Q)\neq H(Q,P),H(P,Q)\geqslant H(P)\)。
上述定义也可写作：对于取值空间\(\cal{X}\)的离散随机变量\(X\)，有两个分布\(p(x),q(x),x\in \cal{X}\)，这也是《信息论基础（原书第二版）》的表达方式；但考虑到一个随机变量对应一个分布更严谨些，便分成了同一取值空间的两个随机变量进行解释，这是《The Algorithmic Foundations of Differential Privacy》的表达方式。二者意思是一样的。
相对熵（relative entropy）/KL散度（KL-divergence）：用来衡量交叉熵与熵之间的差距的，也是两个随机分布之间距离的度量。
对于同一取值空间\(\cal{X}=\{x_1,x_2,...,x_n\}\)下的离散随机变量\(P,Q\)，概率分布分别为\(p(x)=\operatorname{Pr}(P=x),q(x)=\operatorname{Pr}(Q=x),x\in \cal{X}\)，则\(P\)相对\(Q\)的相对熵为\(P,Q的交叉熵-P的熵\)：
\[\begin{aligned} D_{K L}(P \| Q) &=H(P, Q)-H(P) \\ &=-\sum_{x\in \cal{X}} p(x) \log q(x)-\sum_{x\in \cal{X}}-p(x) \log p(x) \\ &=-\sum_{x\in \cal{X}} p(x)(\log q(x)-\log p(x)) \\ &=-\sum_{x\in \cal{X}} p(x) \log \frac{q(x)}{p(x)} \\ &=\sum_{x\in \cal{X}} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} \\ &=\mathbb{E}_{x \sim p}\left[-\log q(x)\right]-\mathbb{E}_{x \sim p}\left[-\log p(x)\right]\\ &=\mathbb{E}_{x \sim p}\left[\log \frac{p(x)}{q(x)}\right] \end{aligned} \]可见，KL散度也可以用来衡量两个分布\(P,Q\)的差异程度，另外，\(D_{K L}(P \| Q) \neq D_{K L}(Q \| P)\geqslant 0\)。
最大散度（Max Divergence）：KL散度是从整体上衡量两个分布的距离，最大散度是两个分布比值的最大值，从两个分布比值的最大值角度衡量了两个分布的差异。
对于同一取值空间\(\cal{X}=\{x_1,x_2,...,x_n\}\)下的离散随机变量\(P,Q\)，概率分布分别为\(p(x)=\operatorname{Pr}(P=x),q(x)=\operatorname{Pr}(Q=x),x\in \cal{X}\)，最大散度为
\[\begin{aligned} D_{\infty}(P \| Q)&=\max _{x\in \cal{X}}\left[\log \frac{\operatorname{Pr}[P=x]}{\operatorname{Pr}[Q=x]}\right] \\ &=\max _{x\in \cal{X}}\left[\log \frac{p(x)}{q(x)}\right] \end{aligned} \]2 差分隐私定义差分隐私是Dwork在2006年首次提出的一种隐私定义，函数的输出结果对数据集中任何特定记录都不敏感。
假设对于一个考试成绩数据集\(D\)，通过查询操作得知有\(x\)个同学不及格，现加入一条新纪录得到新数据集\(D'\)，通过查询得知有\(x+1\)个同学不及格，便可推理出新加入的同学成绩不及格，如此一来，攻击者便通过这样的手段推理出了一些知识。
应对上述攻击，差分隐私通过往查询结果\(f(D),f(D')\)中加入随机噪声\(r\)最终得到查询结果\(\mathcal{M}(D)=f(D)+r,\mathcal{M}(D')=f(D')+r\)，使得\(D\)与\(D'\)经过同一查询后的结果并非确定的具体值，而是服从两个很接近的概率分布，这样攻击者无法辨别查询结果来自哪一个数据集，保障了个体级别的隐私性。
2.1 形式化定义邻接数据集（neighbor datasets）：仅有一条记录不同的两个数据集\(D\)，\(D'\)。
随机化算法\(\cal{M}\)：随机化算法指，对于特定输入，该算法的输出不是固定值，而是服从某一分布。
隐私预算\(\epsilon\)（privacy budget）：\(\epsilon\)用于控制算法的隐私保护程度，\(\epsilon\)越小，则算法保护效果越好。
隐私损失（privacy loss）：对于任意的输出结果\(S\)，\(\ln \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(\mathrm{D}) \in \mathrm{S}]}{\operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(\mathrm{D}^{\prime}\right) \in \mathrm{S}\right]}\)或\(\ln \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(\mathrm{D}) = \mathrm{\xi}]}{\operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(\mathrm{D}^{\prime}\right) = \mathrm{\xi}\right]}\)，其描述了算法\(\cal{M}\)在邻接数据集上输出同一个值的概率差别大小，差分隐私机制将算法的隐私损失控制在一个有限范围\(\epsilon\)内。
隐私损失可正可负，越正和越负都表示隐私损失很大，因此严格来说隐私损失应加个绝对值，为
\[Privacyloss=\left |\ln \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(\mathrm{D}) \in \mathrm{S}]}{\operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(\mathrm{D}^{\prime}\right) \in \mathrm{S}\right]}\right | \]当然，如没有加绝对值的地方默认\(\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(\mathrm{D}) \in \mathrm{S}] \geqslant \operatorname{Pr}[\mathcal{M}(\mathrm{D'}) \in \mathrm{S}]\)。
\(\epsilon-\)差分隐私：对于只有一个记录不同的邻接数据集\(D\)、\(D'\)，给这两个数据集施加一个随机化算法（机制）\(\cal{M}\)，对于所有的\(S\subseteq \operatorname{Range}(\mathcal{M})\)，若有
\[\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) \in S] \leqslant \operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(D' \right) \in S\right] \times \mathrm{e}^{\epsilon} \]即
\[\max _{S}\left[\ln \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M} (D) \in S]}{\operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(D' \right) \in S\right]}\right] \leqslant \epsilon \]成立，则称算法\(\cal{M}\)满足\(\epsilon-\)差分隐私。
其中\(\operatorname{Range}(\mathcal{M})\)是随机算法\(\cal{M}\)映射结果随机变量的取值空间，\(S\)是其子集；对于所有的\(S\subseteq \operatorname{Range}(\mathcal{M})\)即对于\(\operatorname{Range}(\mathcal{M})\)的所有子集。
另种写法：
\[\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) =x] \leqslant \operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(D' \right) =x\right] \times \mathrm{e}^{\epsilon},x\in S \]即
\[\max _{x\in S}\left[\log \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D)=x]}{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D')=x]}\right] \leqslant \epsilon \]
\((\epsilon,\sigma)-\)差分隐私：上面描述的是严格的差分隐私的定义，为了算法的实用性，Dwork后面引入了松弛的差分隐私，加入一个小常数\(\delta\)（称作失败概率）：
\[\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) \in S] \leqslant \operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(D' \right) \in S\right] \times \mathrm{e}^{\epsilon}+\delta \]2.2 该定义是如何得来的差分隐私的目的是使\(\mathcal{M}(D),\mathcal{M}(D')\)的分布尽可能接近，便可用Max Divergence衡量两个分布的差异：
\[\begin{aligned} D_{\infty}(\mathcal{M}(D) \| \mathcal{M}(D')) &=\max _{x\in S}\left[\log \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D)=x]}{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D')=x]}\right] \\ &=\max _{S}\left[\log \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) \in S]}{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D') \in S]}\right] \end{aligned} \]其中\(S\subseteq \operatorname{Range}(\mathcal{M})\)，\(\operatorname{Range}(\mathcal{M})\)是随机算法\(\cal{M}\)映射结果随机变量的取值空间，\(S\)是其子集。
对于\(\operatorname{Range}(\mathcal{M})\)的所有子集，即对于任意的\(S\subseteq \operatorname{Range}(\mathcal{M})\)，两个分布的差异都被限制在隐私预算\(\epsilon\)以内：
\[\max _{x\in S}\left[\log \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D)=x]}{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D')=x]}\right] =\max _{S}\left[\log \frac{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) \in S]}{\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D') \in S]}\right] \leqslant \epsilon \]可见，上述的Max Divergence就是隐私损失。
取\(\log\)的底为\(e\)，并两边同时利用指数运算、乘以分母变形得：
\[\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) =x] \leqslant \operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(D' \right) =x\right] \times \mathrm{e}^{\epsilon},x\in S \]或
\[\operatorname{Pr}[\mathcal{M}(D) \in S] \leqslant \operatorname{Pr}\left[\mathcal{M}\left(D' \right) \in S\right] \times \mathrm{e}^{\epsilon} \]3 差分隐私中常用的随机化算法（机制）常用的随机化机制有：
- 拉普拉斯机制（Laplace mechanism）
- 指数机制（Exponential mechanism）
- 高斯机制（Gaussian mechanism）
这些机制中，噪声发现取决于算法的敏感度。
敏感度（sensitivity）：对于只有一个记录不同的两个数据集\(D,D'\)，对于一个函数\(\mathcal{M}:\cal{D} \rightarrow \cal{R^d}\)，则\(\cal{M}\)的敏感度为接收所有可能的输入后，得到输出的最大变化值：
\[\Delta \mathcal{M}=\max _{D, D^{\prime}}\left\|\mathcal{M}(D)-\mathcal{M}\left(D^{\prime}\right)\right\| \]其中，\(\|\cdot\|\)表示向量的范数。\(l_1-\)敏感度和\(l_2-\)敏感度分别适用于\(l_1\)范数和\(l_2\)范数。
参考资料：
- 概率单纯形 https://zhuanlan.zhihu.com/p/479892005
- 【数学知识】KL散度 https://zhuanlan.zhihu.com/p/365400000
- 一文搞懂熵(Entropy),交叉熵(Cross-Entropy) https://zhuanlan.zhihu.com/p/149186719
- 差分隐私Differential Privacy介绍 https://zhuanlan.zhihu.com/p/40760105
- 差分隐私（一） Differential Privacy 简介 https://zhuanlan.zhihu.com/p/139114240
- 差分隐私的算法基础 第二章 第三节 形式化差分隐私 https://zhuanlan.zhihu.com/p/502656652
- 《联邦学习》杨强.et al 电子工业出版社
- 机器学习的隐私保护研究综述. 刘俊旭 孟小峰 doi: 10.7544/issn1000-1239.2020.20190455
- 《The Algorithmic Foundations of Differential Privacy》Dwork.et al 3.5.1
- 《信息论基础（原书第2版）》Thomas.et al 机械工业出版社