题目描述
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例1：
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
限制
0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200
算法分析
- 本题可用动态规划解决，因为每次只能向下或者向上走一格，所以对于每一个单元格来说，只能通过其左边的单元格或者上边的单元格到达，因此dp数组保存走到当前grid单元格能够得到的最大价值。对于第i行第j列的格子而言，走到这个单元格所能得到的最大值为max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]，此即为递推公式。
- 因为dp[i][j]只与dp[i-1][j]，dp[i][j-1]以及grid[i][j]有关，因此原地修改grid数组即可，不需要声明dp数组。
- 注意边界情况需要特殊处理。
复杂度分析
问题规模为数字的位数n
- 时间复杂度：O( m ∗ n m * n m∗n)，需要遍历grid数组
- 空间复杂度：O( 1 1 1)，原地修改grid数组
Golang代码如下
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
func maxValue(grid [][]int) int {
for j := 1; j < len(grid[0]); j++ {
grid[0][j] = grid[0][j-1] + grid[0][j]
}
for i := 1; i < len(grid); i++ {
grid[i][0] = grid[i-1][0] + grid[i][0]
}
for i := 1; i < len(grid); i++ {
for j := 1; j < len(grid[0]); j++ {
grid[i][j] = max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]) + grid[i][j]
}
}
return grid[len(grid)-1][len(grid[0])-1]
}