二叉堆有两种类型，最大堆和最小堆。
1.1 最大堆
最大堆的任何一个父节点的值，都大于等于它左、右孩子节点的值。
1.2 最小堆
最小堆的任何一个父节点的值，都小于等于它左、右孩子节点的值。
1.3 二叉堆的自我调整
- 插入节点【节点上浮】， 时间复杂度O(logn)
- 删除节点【节点下沉】， 时间复杂度O(logn)
- 构建二叉树， 时间复杂度O(n)
1.4 代码实现
二叉堆的存储方式是顺序存储，即节点数据都存储在数组中。
Java语言：
import java.util.Arrays;
/**
* 最小堆的上浮和下沉
*/
public class BinaryHeap {
/**
* 上浮调整
*
* @param array
*/
public static void upAdjust(int[] array) {
int childIndex = array.length - 1; //最后一个位置得索引
int parentIndex = (childIndex - 1) / 2; //思考一下为什么不论最后一个元素是左孩子还是右孩子，其父节点得索引计算都是这个公式
while (childIndex > 0 && array[childIndex] < array[parentIndex]) { //上浮的元素不能小于等于0，因为等于0时就已经是根节点了，不能再上浮了，小于0时，就数组下标越界了，所以循环条件是（childIndex >0 && array[childIndex] < array[(childIndex-1)/2]
//交换位置
int temp = array[childIndex];
array[childIndex] = array[parentIndex];
array[parentIndex] = temp;
childIndex = parentIndex;
parentIndex = (childIndex - 1) / 2;
}
}
/**
* 下沉调整
*
* @param array 待调整的堆
* @param parentIndex 要下沉的父节点
*/
public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex) {
int length = array.length;
int childIndex = 2 * parentIndex + 1; //左孩子的索引
while (childIndex < length) { //边界判断
if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {//当有右孩子时，判断左右孩子的大小
childIndex = childIndex + 1;//右孩子对应的索引
// childIndex++; //等同于childIndex + 1;
}
if (array[parentIndex] < array[childIndex]) { //当父节点比子节点小的时候，退出循环
break;
}
int temp = array[parentIndex];
array[parentIndex] = array[childIndex];
array[childIndex] = temp;
//交换完毕
parentIndex = childIndex;//将交换过的子节点索引重新给父节点
childIndex = 2 * parentIndex + 1;//重新计算新的左孩子索引
}
}
public static void buildHeap(int[] array) {
//从最后一个非叶子节点开始，依次做下沉操作
for (int i = (array.length - 2) / 2; i >= 0; i--) {
downAdjust(array, i);
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] array = new int[]{1, 3, 2, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 0};
upAdjust(array);
System.out.println(Arrays.toString(array)); //结果：[0, 1, 2, 6, 3, 7, 8, 9, 10, 5]
array = new int[]{7, 1, 3, 10, 5, 2, 8, 9, 6};
// downAdjust(array,0);
buildHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(array)); //结果：[1, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 9, 10]
}
}
Golang语言：
package main
import "fmt"
/**
* 最小堆的上浮
*/
func UpAdjust(array []int) {
childIndex := len(array) - 1
parentIndex := (childIndex - 1) / 2
for childIndex > 0 && array[childIndex] < array[parentIndex] {
temp := array[childIndex]
array[childIndex] = array[parentIndex]
array[parentIndex] = temp
childIndex = parentIndex
parentIndex = (childIndex - 1) / 2
}
}
/**
* 最小堆的下沉
*/
func DownAdjust(array []int, parentIndex int) {
length := len(array)
childIndex := 2*parentIndex + 1
for childIndex < length {
if childIndex+1 < length && array[childIndex+1] < array[childIndex] {
childIndex++
}
if array[parentIndex] < array[childIndex] {
break
}
temp := array[parentIndex]
array[parentIndex] = array[childIndex]
array[childIndex] = temp
parentIndex = childIndex
childIndex = 2*parentIndex + 1
}
}
func BuildHeap(array []int) {
for i := (len(array) - 2) / 2; i >= 0; i-- {
DownAdjust(array, i)
}
}
func main() {
array := []int{1, 3, 2, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 0}
UpAdjust(array)
fmt.Println(array) //结果：[0, 1, 2, 6, 3, 7, 8, 9, 10, 5]
array = []int{7, 1, 3, 10, 5, 2, 8, 9, 6}
//DownAdjust(array, 0)
BuildHeap(array)
fmt.Println(array) //结果：[1, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 9, 10]
}
1.5 二叉堆时间复杂度
堆排序：nlog(n)
堆插入元素：log(n)
堆调整：log(n)
堆重建：O(n)
2.1 优先队列特点
优先队列不在遵循队列先入先出的原则，而是分为两种情况：
- 最大优先队列，无论入队顺序如何，都是当前最大的元素优先出队。
- 最小优先队列，无论入队顺序如何，都是当前最小的元素优先出队。
优先队列的实现基础是二叉堆，因为二叉堆有最大堆和最小堆。
通过最大堆可实现最大优先队列，每一次入队就是堆的插入操作，每一次出队就是删除堆顶节点的操作。
通过最小堆可实现最小优先队列，每一次入队就是堆的插入操作，每一次出队就是删除堆顶节点的操作。
2.2 代码实现【略】
看漫画算法 P101
2.3 优先队列的时间复杂度
出队和入队的时间复杂度是 O(logn)。